一、三角部分　　

1．已知　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　且　 　　　

   （I）求　 　　　（或　 　　　）；（II） 求　 　　　

解（I）　 　　　　　　　　　　　，

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　.

       （　 　　　）

   （II）　 　　　，　　

　　　　.　　

       　　　　，　　

　　　　.　 　　　.　　

解法2：　 　　　，　 　　　，　 　　　.  　　

　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　.　　

2．右图为函数　 　　　的一段图象.                                 　　

   （I）请写出这个函数的一个解析式；              

   （II）求与（I）中函数图象关于直线　 　　　

对称的函数图象的解析式，并作出它一

个周期内的简图.

       解：（I）　 　　　又　 　　　

       由　 　　　的图象过　 　　　

       　　　　（为其中一个值）.

       ∴　 　　　为所求.

   （II）设　 　　　为所求函数图象上任意一点，该点关于直线　 　　　对称点为　 　　　，则点　 　　　必在函数　 　　　的图象上.

       ∴　 　　　，即　 　　　

       　　　　的图象关于直线　 　　　对称的函数图象的解析式是

       　　　　.

　　　　　　　 　　　　 　　　列表：                                        作图：

	0
	0	-3	0	3	0

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

二、概率　　

　　　　　　3．（文科）一辆车要直行通过某十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）. 已知每辆车直行的概率是　 　　　，左转行驶的概率是　 　　　，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟. 假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒钟，一辆左转的车驶出停车线需要20秒钟，求：

   （I）前4辆车恰有2辆车左转行驶的概率；

   （II）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率（汽车驶出停车线就算通过路口）

       解：（Ⅰ）前4辆恰有2辆左转行驶的概率　 　　　 

   （Ⅱ）该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率

       　　　　  .

4.（理科） 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.　　

   （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；　　

   （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.　　

解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：　　

ξ	0	1	2	3
P

甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×　 　　　+1×　 　　　+2×　 　　　+3×　 　　　=　 　　　.　　

   （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则　　

P（A）=　 　　　=　 　　　=　 　　　，P（B）=　 　　　=　 　　　=　 　　　.　　

因为事件A、B相互独立，　　

方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为　　

P（　 　　　）=P（　 　　　）P（　 　　　）=（1－　 　　　）（1－　 　　　）=　 　　　.　　

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P（　 　　　）=1－　 　　　=　 　　　.　　

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为　 　　　.　　

方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为　　

P=P（A·　 　　　）+P（　 　　　·B）+P（A·B）=P（A）P（　 　　　）+P（　 　　　）P（B）+P（A）P（B）　　

=　 　　　×　 　　　+　 　　　×　 　　　+　 　　　×　 　　　=　 　　　.　　

       答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为　 　　　.　　

三、立体几何　　

5．已知矩形ABCD中，AB=　 　　　，AD=1. 将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上.　　

（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面BCD； 　　

（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离；　　

　　　　　　　　　　　　　　　　

A

　　　　

B

　　　　

C

　　　　

D

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

B

　　　　

C

　　　　

D

　　　　

E

　　　　（Ⅲ）若E为BD中点，求二面角B-AC-E的大小.　　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

      方法1：　　

   （Ⅰ）证明：∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，　　

即平面ACD经过平面BCD的垂线，　　

∴平面ADC⊥平面BCD. 　　

　　　

F

　　　　　　

A

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

B

　　　　

C

　　　　

D

　　　　

E

　　　　　　　　　　　　　　

G

　　　   （Ⅱ）解：依条件可知BC⊥DC，又平面　 　　　平面　 　　　，　　

且平面　 　　　平面　 　　　＝　 　　　　　

∴BC⊥平面ACD.   ∵DA　 　　　平面ACD，　　

∴BC⊥DA.①   依条件可知DA⊥AB.  　　

②∵AB∩BC=B，∴由①、②得DA⊥平面ABC.　　

设点C到平面ABD的距离为d，　　

∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D-ABC的高.　　

∴由V_C-ABD=V_D-ABC，得　 　　　dS_△ABD=　 　　　DAS_△ABC.  　　

解得d=　 　　　.　　

即点C到平面ABD的距离为　 　　　. 　　

　　　　   （Ⅲ）解：取　 　　　中点　 　　　，连　 　　　　　　　为　 　　　中点　　

　　　　　　

由（Ⅱ）中结论可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC.　　

过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，　　

则GF为EG在平面ABC的射影，　 　　　　　

∴∠EGF是所求二面角的平面角.  　　

在△ABC中　 　　　　　　　　　

FG＝　 　　　BC＝　 　　　, 又EF　 　　　　　　　AD，∴EF＝　 　　　　　

　　　　在　 　　　△EFG中容易求出∠EGF=45°.　　

即二面角B-AC-E的大小是45°.  　　

方法2：（Ⅰ）证明：如图，以CB所在直线为x轴，DC　　

所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系.　　

所以C（0，0，0）， B（1，0，0），D（0，－　 　　　，0），设　 　　　　　

∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，　　

由　 　　　且　 　　　,　　

得　 　　　.　　

∴点A的坐标为A（0，　 　　　，　 　　　）.　　

∵n₁=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量.　　

而　 　　　=（1，0，0）是平面ADC的一个法向量.　　

∵n₁·　 　　　= （0，0，1）·（1，0，0）=0，　　

∴平面ACD⊥平面BCD.  　　

   （Ⅱ）解：设点C到平面ABD的距离为d，　　

∵　 　　　=（0，　 　　　，-　 　　　），　 　　　=（1，　 　　　，　 　　　），　　

　　　　=（0，　 　　　，　 　　　），　　

容易求出平面ABD的一个法向量为n₂=（-　 　　　，1，-1） .　　

∴d=||　 　　　|cos<　 　　　，n₂>|=|1×　 　　　|=　 　　　.　　

即点C到平面ABD的距离为　 　　　.　　

   （Ⅲ）解：∵　 　　　= （-1，-　 　　　，　 　　　）， 　　　　=（1，0，0），　　

∴容易求出平面ABC的一个法向量为n₃= （0，1，1） .

A（0，-　 　　　，　 　　　），E（　 　　　，-　 　　　，0），　　

∴　 　　　= （　 　　　，0，-　 　　　）.　　

∴容易求出平面AEC的一个法向量为n₄= （2，　 　　　，　 　　　） .　　

∵n₃·n₄=0+　 　　　+　 　　　=2　 　　　，| n₃|=　 　　　，| n₄|=2　 　　　，   　　

∴cos< n₃，n₄>=　 　　　=　 　　　.    　　

∴二面角B-AC-E的大小是45°.           　　

6*．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN＝　 　　　NC₁.　　

（Ⅰ）求证：AM　 　　　面BC　 　　　　　　　；（或若　 　　　为　 　　　的中点，求证：　 　　　.）　　

（Ⅱ）若二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值为　 　　　，求　 　　　的值；　　

（Ⅲ）在第（Ⅱ）的前提下，求点B₁到平面AMN的距离.　　

解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，且AB=AC，所以AM　 　　　BC，　　

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，　 　　　底面　 　　　, 　　　　 AM　 　　　　　　　 又　 　　　.所以AM　 　　　平面　 　　　　　　　. 　　

（或：连结　 　　　，　 　　　  又　 　　　,　 　　　.）  　　

　　　　　　（II）因为AM　 　　　平面　 　　　　　　　 　　

且　 　　　M　 　　　平面　 　　　　　　　，NM　 　　　平面　 　　　　　　　　　

∴AM　 　　　　　　　M, AM　 　　　NM，　　

∴　 　　　　　　　MN为二面角　 　　　—AM—N的平面角.　　

∴　 　　　，设C₁N=　 　　　，则CN=1－　 　　　　　

　　　　又　 　　　M=　 　　　　　　　,MN=　 　　　,  　　

连　 　　　N，得　 　　　N＝　 　　　，　　

在　 　　　　　　　MN中，由余弦定理得  　　

　　　　,  　　

得　 　　　=　 　　　.故　 　　　=2.　　

（III）过　 　　　在面　 　　　内作直线　 　　　，　 　　　为垂足.又　 　　　平面　 　　　，所以AM　 　　　　　　　H.于是　 　　　H　 　　　平面AMN，故　 　　　H的长即为　 　　　到平面AMN的距离.在　 　　　中，　　

　　　　H＝　 　　　M　 　　　.故点　 　　　到平面AMN的距离为1.               　　

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则　 　　　（0，0，1），M（0，　 　　　，0）,　　

C（0,1,0）, A （　 　　　），设N （0,1,a） ,所以，　　

　　　　，　 　　　,　 　　　　　

因为　 　　　所以　 　　　,同法可得　 　　　.　　

又　 　　　故AM　 　　　面BC　 　　　　　　　.　　

   （II）由（Ⅰ）知﹤　 　　　﹥为二面角　 　　　—AM—N的平面角,以下同法一.　　

   （Ⅲ）设n=（x,y,z）为平面AMN的一个法向量，则由　 　　　得，由（II）知　 　　　　　

　　　　.        　　

故可取　 　　　　　

　　　　　　　　到平面AMN的距离为　 　　　　　

四、解不等式　　

7．已知集合A＝　 　　　，B＝　 　　　.　　

   （I）当a＝2时，求A　 　　　B；       　　

   （II）求使B　 　　　A的实数a的取值范围.　　

解：（I）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）　　

∴ A　 　　　 B＝（4，5）　　

   （II）解集合B＝　 　　　，　 　　　　　

当　 　　　，则 B=　 　　　；当　 　　　，则 B＝（2a，a²＋1），　　

解集合A＝　 　　　　　

当a＜　 　　　时，A＝（3a＋1，2）；当a＝　 　　　时，A＝　 　　　；　　

当a＞　 　　　时，A＝（2，3a＋1）；　　

要使B　 　　　A，　　

当　 　　　，则 B=　 　　　, B 　　　　A成立；　　

当　 　　　，则 B＝（2a，a²＋1），　　

当a＜　 　　　时，A＝（3a＋1，2）要使B 　　　　A，必须　 　　　， 此时a＝－1；　　

当a＝　 　　　时，A＝　 　　　，而B　 　　　　　　　，故使B　 　　　A的a不存在；　　

当a＞　 　　　且　 　　　时，A＝（2，3a＋1），要使B　 　　　A，必须　 　　　， 此时1<a≤3.　　

综上可知，使B　 　　　A的实数a的取值范围为　 　　　　　

8．*（理）已知不等式：　 　　　----------①

　　　　 --------------------------------------------②

　　　　 ------------------------------------------③

   （I）分别求不等式①②的解集.

   （II）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围.

   （III）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.

  （文）已知不等式：　 　　　----------------------------------------------------①

　　　　 --------------------------------------------②

　　　　 ------------------------------------------③

   （I）分别求不等式①②的解集.

   （II）若同时满足①②的x的值也满足不等式③，求实数m的取值范围.

   （III）若满足不等式③的x的值至少满足①②中的一个,求实数m的取值范围.

解：（I） ①的解集为A={x|－1<x<3}（理，且x≠0）

I      ②的解集为B={　 　　　}

（II）由（1）:　 　　　或　 　　　知

要满足题意的要求，则方程2x²+mx－1=0的一根小于等于0（文：小于0），另一根大于等于3.

设f（x）= 2x²+mx－1，则　 　　　（文　 　　　）

   （III）要满足题意的要求，则方程2x²+mx－1=0的两根应在区间（－1，4]上.

设f（x）= 2x²+mx－1，　 　　　抛物线开口向上且f（0）＝－1<0, 故　 　　　

则　 　　　.

五、数列　　

9．已知各项均为正数的数列　 　　　，　 　　　，　 　　　 其中　 　　　，

    （I）证明 　　　　；

    （II）设　 　　　，试证明 　　　　；

    （III）若数列　 　　　满足　 　　　，求数列　 　　　的前　 　　　项和　 　　　.

（I）运用数学归纳法证明如下：

①当　 　　　时，由条件知　 　　　，故命题成立；

②假设当　 　　　时，有 　　　　成立

那么当　 　　　时，　 　　　  故命题成立

综上所述，命题　 　　　对于任意的正整数　 　　　都成立.

（II）　 　　　    

（III）　 　　　  

且　 　　　

　　　　数列　 　　　是以　 　　　为首项，以2为公比的等比数列.

　　　　.     

10. 已知数列　 　　　，其中　 　　　是首项为1，公差为1的等差数列；　 　　　是公差为　 　　　的等差数列；　 　　　是公差为　 　　　的等差数列（　 　　　）.

（I）若　 　　　，求　 　　　；

（II）试写出　 　　　关于　 　　　的关系式，并求　 　　　的取值范围；

解:（I）　 　　　.                    

   （II）　 　　　，                      

    　　　　，

当　 　　　时，　 　　　. 

六、解析几何　　

11．已知三点P（5，2）、　 　　　（－6，0）、　 　　　（6，0）.　　

（Ⅰ）求以　 　　　、　 　　　为焦点且过点P的椭圆的标准方程；　　

（Ⅱ）设点P、　 　　　、　 　　　关于直线y＝x的对称点分别为　 　　　、　 　　　、　 　　　，求以　 　　　、　 　　　为焦点且过点　 　　　的双曲线的标准方程.　　

解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为　 　　　+　 　　　　　　　，其半焦距　 　　　.

　　　　　　　　，   

∴　 　　　　　　　，

　　　　，故所求椭圆的标准方程为　 　　　+　 　　　；

（II）点P（5，2）、　 　　　（－6，0）、　 　　　（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：　　

　　　　、　 　　　（0，-6）、　 　　　（0，6）　　

设所求双曲线的标准方程为　 　　　　　　　，由题意知半焦距　 　　　，

　　　　　　　　，   

∴　 　　　　　　　，

　　　　，故所求双曲线的标准方程为　 　　　　　　　.

12．已知定点　 　　　点P在　 　　　轴上运动，M在x轴上，N为动点，且

　　　　;  

（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点　 　　　的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点，设点　 　　　， 　　　　的夹角为　 　　　，求证：　 　　　

解：（Ⅰ）　 　　　

　　　　

由　 　　　    ①

　　　　0，　 　　　0，

即　 　　　并代入①，

得　 　　　即为所求.

（Ⅱ）　 　　　过点　 　　　的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A，B两点

设l的方程为　 　　　且　 　　　

由　 　　　消去y，

得　 　　　

设　 　　　

则　 　　　 

　　　　

　　　　

　　　　 　 　　　.

　　　　

　　　　

七、函数与导数　　

13．已知函数　 　　　和　 　　　的图象关于y轴对称，且　 　　　　　

（I）求函数　 　　　的解析式；　　

（II）解不等式　 　　　；　　

解：（I）设点　 　　　为函数　 　　　的图象上任意一点，则点P关于y轴对称点为　 　　　，因为函数　 　　　和　 　　　的图象关于y轴对称，所以点　 　　　一定在函数　 　　　图象上，代入得　 　　　，所以　 　　　　　　　.　　

（II）　 　　　　　

　　　　　　　　或　 　　　　　　　或　　

　　　　　　　　 　　

所以不等式的解集为　 　　　

14．如图，等腰梯形　 　　　的三边　 　　　分别与函数　 　　　，　 　　　的图象切于点　 　　　.求梯形　 　　　面积的最小值.

解: 设梯形　 　　　的面积为　 　　　，点P的坐标为　 　　　.　　

　　　　由题意得，点　 　　　的坐标为　 　　　，直线　 　　　的方程为　 　　　.　　

　　　　  　　

　　　　  　　

　　　　　　

　　　　直线　 　　　的方程为　 　　　　　

即：　 　　　　　

令　 　　　  得，　 　　　　　

令　 　　　  得，　 　　　  　　

　　　　　　　　　　　　　　

当且仅当　 　　　，即　 　　　时，取“=”且　 　　　，　　

　　　　　　　　时，　 　　　有最小值为　 　　　.　　

　　　　梯形　 　　　的面积的最小值为　 　　　.　　

八、应用题　　

15．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.　　

（I）写出y与x之间的函数关系式；　　

（II）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）　　

（III）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：　　

（1）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；　　

（2）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床.　　

问用哪种方案处理较为合理？请说明理由.　　

解：（I）依题得：　 　　　　　

（II）解不等式　 　　　　　

　　　　　　

（III）（1）　 　　　　　

当且仅当　 　　　时，即x=7时等号成立.　　

　　　　到2015年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元.　　

（2）　 　　　　　

故到2018年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元　　

因为盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理.　　

16*．甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在　 　　　、　 　　　两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从　 　　　、　 　　　两个喷雾器中分别取1千克的药水，将　 　　　中取得的倒入　 　　　中，　 　　　中取得的倒入　 　　　中，这样操作进行了　 　　　次后，　 　　　喷雾器中药水的浓度为　 　　　%，　 　　　喷雾器中药水的浓度为　 　　　%．　　

（Ⅰ）证明　 　　　是一个常数；　　

（Ⅱ）求　 　　　与　 　　　的关系式；　　

（Ⅲ）求　 　　　的表达式．　　

解：（Ⅰ）开始时，　 　　　中含有10　 　　　12%＝1.2千克的农药，　 　　　中含有10　 　　　6%＝0.6千克的农药，　 　　　次操作后，　 　　　中含有10　 　　　　　　　%＝0.1　 　　　千克的农药，　 　　　中含有10　 　　　　　　　%＝0.1　 　　　千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，　　

从而有　 　　　，所以　 　　　＝18（常数）.    　　

（Ⅱ）第　 　　　次操作后，　 　　　中10千克药水中农药的重量具有关系式：　　

　　　　， 　　

即　 　　　，再由（1）知　 　　　，　　

代入化简得　 　　　  ①　　

（Ⅲ）令　 　　　，利用待定系数法可求出　 　　　＝－9，  　　

所以　 　　　，由①，　　

　　　　，　　

　　　　，　　

　　

20080526

可知数列　 　　　是以　 　　　为首项，　 　　　为公比的等比数列，   　　

由等比数列的通项公式知：　 　　　，　　

　　

20080526

所以　 　　　.